Question

2．在直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C的方程：x²+y²-2x-4y+4=0，點(diǎn)P是直線l：x-2y-2=0上的任意點(diǎn)，過P作圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A、B，當(dāng)∠APB取最大值時．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的坐標(biāo)及過點(diǎn)P的切線方程；
（Ⅱ）在△APB的外接圓上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使|OQ|=$\frac{7}{2}$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），如果存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圓心C（1，2），r=1，判斷當(dāng)∠APB取最大值時，即圓心到點(diǎn)P的距離最小，通過求解P（2，0）得到切線方程．
（Ⅱ）△APB的外接圓是以PC為直徑的圓，求出PC的中點(diǎn)坐標(biāo)是$（\frac{3}{2}，1）$，$|PC|=\sqrt{5}$，圓上的點(diǎn)到點(diǎn)O的最大距離判斷求解，即可得到因此這樣的點(diǎn)Q不存在．

解答 解：（Ⅰ）圓方程可化為：（x-1）²+（y-2）²=1，圓心C（1，2），r=1
當(dāng)∠APB取最大值時，即圓心到點(diǎn)P的距離最小…（1分）
所求的點(diǎn)P是過圓心與直線l垂直的直線與直線l的交點(diǎn)．
過圓心與直線l垂直的直線的方程是：2x+y-4=0…（2分）
由$\left\{\begin{array}{l}2x+y-4=0\\ x-2y-2=0\end{array}\right.$，解得P（2，0）…（3分）
設(shè)切線方程為：y=k（x-2），
$1=\frac{|-k-2|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，解得k=$-\frac{3}{4}$，或k不存在．
過點(diǎn)P的切線方程：3x+4y-6=0…（5分）
或x=2…（6分）
（Ⅱ）△APB的外接圓是以PC為直徑的圓…（7分）
PC的中點(diǎn)坐標(biāo)是$（\frac{3}{2}，1）$，$|PC|=\sqrt{5}$…（8分）
因此△APB外接圓方程是：${（x-\frac{3}{2}）^2}+{（y-1）^2}=\frac{5}{4}$…（9分）
圓上的點(diǎn)到點(diǎn)O的最大距離是：$\sqrt{{{（\frac{3}{2}）}^2}+{1^2}}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}=\frac{{\sqrt{13}}}{2}+\frac{{\sqrt{5}}}{2}＜\frac{4}{2}+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$…（11分）
因此這樣的點(diǎn)Q不存在…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，存在性問題的求法，圓的切線方程的求法，考查計算能力．