Question

12．$\sqrt{2+\frac{2}{3}}，\sqrt{3+\frac{3}{8}}，\sqrt{4+\frac{4}{15}}，\sqrt{5+\frac{5}{24}}，…$，由此猜想出第n（n∈N₊）個數(shù)是$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-1}}}$．

Answer 1

分析 根號下由兩個數(shù)組成，前一個數(shù)是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，后一個數(shù)是分?jǐn)?shù)，通項是$\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}$，從而可猜想第n個數(shù)．

解答 解：∵$\sqrt{2+\frac{2}{3}}，\sqrt{3+\frac{3}{8}}，\sqrt{4+\frac{4}{15}}，\sqrt{5+\frac{5}{24}}，…$，
∴將根號下的數(shù)分成兩個數(shù)的和，2，3，4…的通項是n+1；
$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{8}$，$\frac{4}{15}$…的通項是$\frac{n+1}{（n+1）^{2}-1}$
∴由此猜想第n個數(shù)為$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-1}}}$．
故答案為：$\sqrt{（n+1）+\frac{n+1}{{{{（n+1）}^2}-1}}}$．

點評 本題考查了歸納推理，考查了信息獲取能力，先利用已知的計算，認(rèn)真觀察是解決此類問題的關(guān)鍵．