分析 (1)由$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow)•(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow)$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=-20,能求出$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角.
(2)由$(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow)(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+(1-k)\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}$=0,能求出k.
解答 解:(1)∵$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$,$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$,$({\overrightarrow{\;a\;}+2\overrightarrow{\;b\;}})•({2\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}})=-20$,
∴$(\overrightarrow{a}+2\overrightarrow)•(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow)$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$
=2×9-2×16+3×3×4×cos<$\overrightarrow{a},\overrightarrow$>=-20,
∴cos<$\overrightarrow{a},\overrightarrow$>=-$\frac{1}{6}$,
∴<$\overrightarrow{a},\overrightarrow$>=arccos(-$\frac{1}{6}$)=$π-arccos\frac{1}{6}$.
∴$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角為$π-arccos\frac{1}{6}$.
(2)∵$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$,$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$,$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角為60°,$k\overrightarrow{\;a\;}+\overrightarrow{\;b\;}$與$\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}$垂直,
∴$(k\overrightarrow{a}+\overrightarrow)(\overrightarrow{a}-\overrightarrow)$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+(1-k)\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}$=0,
∴9k+(1-k)×3×4×cos60°-16=0,
解得k=$\frac{10}{3}$.
點評 本題考查向量的夾角的求法,考查實數(shù)值的求法,是基礎(chǔ)題,解題時要認真審題,注意向量數(shù)量積公式的合理運用.
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A. | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | -$\frac{1}{2}$ | D. | -$\frac{\sqrt{3}}{2}$ |
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A. | -$\frac{3}{2}$ | B. | -$\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{1}{2}$ | D. | $\frac{3}{2}$ |
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A. | $\frac{6}{13}$ | B. | $\frac{5}{13}$ | C. | $\frac{6\sqrt{2}}{13}$ | D. | $\frac{5\sqrt{2}}{13}$ |
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