Question

1．已知$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$，$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$，
（1）若$（{\overrightarrow{\;a\;}+2\overrightarrow{\;b\;}}）•（{2\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}}）=-20$，求$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角；
（2）若$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角為60°，試確定實數(shù)k，使$k\overrightarrow{\;a\;}+\overrightarrow{\;b\;}$與$\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}$垂直．

Answer 1

分析 （1）由$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$=-20，能求出$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角．
（2）由$（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}$=0，能求出k．

解答 解：（1）∵$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$，$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$，$（{\overrightarrow{\;a\;}+2\overrightarrow{\;b\;}}）•（{2\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}}）=-20$，
∴$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（2\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=2${\overrightarrow{a}}^{2}$+3$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$-2${\overrightarrow}^{2}$
=2×9-2×16+3×3×4×cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=-20，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=-$\frac{1}{6}$，
∴＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=arccos（-$\frac{1}{6}$）=$π-arccos\frac{1}{6}$．
∴$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角為$π-arccos\frac{1}{6}$．
（2）∵$|{\overrightarrow{\;a\;}}|=3$，$|{\overrightarrow{\;b\;}}|=4$，$\overrightarrow{\;a\;}$與$\overrightarrow{\;b\;}$的夾角為60°，$k\overrightarrow{\;a\;}+\overrightarrow{\;b\;}$與$\overrightarrow{\;a\;}-\overrightarrow{\;b\;}$垂直，
∴$（k\overrightarrow{a}+\overrightarrow）（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=$k{\overrightarrow{a}}^{2}+（1-k）\overrightarrow{a}•\overrightarrow-{\overrightarrow}^{2}$=0，
∴9k+（1-k）×3×4×cos60°-16=0，
解得k=$\frac{10}{3}$．

點評 本題考查向量的夾角的求法，考查實數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意向量數(shù)量積公式的合理運用．