Question

16．已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，A₁在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，∠BCA=90°，AC=BC=2，又知BA₁⊥AC₁
（1）求證：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求以△ABA₁為底面的三棱錐C-ABA₁的高．

Answer 1

分析 （1）欲證AC₁⊥平面A₁BC，需要從平面A₁BC中找出兩條相交線與AC₁垂直，由圖形知，可證BC⊥AC₁，又BA₁⊥AC₁．由線面垂直的定理即可得．
（2）求C到平面A₁AB的距離，本小題擬采用向量法求解，建立空間坐標系，求出平面A₁AB的法向量，以及$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，求$\overrightarrow{C{A}_{1}}$在平面法向量上的投影即可得到點到面的距離．

解答 解：（1）證明：因為A₁在底面ABC上的射影為AC的中點D，
所以平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁∴BC⊥AC₁
∵AC₁⊥BA₁且BC₁∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）如圖所示，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，
∵AC₁⊥平面A₁BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四邊形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中點，
∴∠A₁AD=60°．
∴A（2，0，0）A₁（1，0，$\sqrt{3}$），
B（0，2，0）C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），
設平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}z}\\{x=y}\end{array}\right.$，令z=1，
∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∵$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
∴d=$\frac{|\overrightarrow{C{A}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
∴C到平面A₁AB的距離為$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，點到面距離的求法，由解題過程可以看出，用向量法求點到面的距離是一個很實用的方法，解題中要善于運用，在求解此類題時，求面的法向量是一個重點，要學會怎么賦值，屬于中檔題．