Question

8．已知函數(shù)f（x）對于任意x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-$\frac{1}{4}$
（Ⅰ）求證：f（x）在R上是減函數(shù)．
（Ⅱ）求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．
（Ⅲ）當(dāng)m+n≠0時(shí)，求證$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用賦值法即可求f（0）的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明函數(shù)單調(diào)性；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）先證明當(dāng)x≠0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$＜0．再把x=m+n代入得$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$，而f（m）+f（n）=f（m+n），故$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$得證．

解答 解：（Ⅰ）證明：令x=y=0得f（0）+f（0）=f（0），
解得f（0）=0，
設(shè)x₁＞x₂，由f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=x₂，x+y=x₁，
則 y=x₁-x₂＞0，所以 f（x₂）+f（x₁-x₂）=f（x₁）
所以 f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0，
所以，f（x）在R上是減函數(shù)；
（Ⅱ）由f（x）+f（y）=f（x+y），
可得f（1）+f（-1）=f（0）=0，
∴f（-1）=-f（1）=$\frac{1}{4}$，
f（-4）=f（-3）+f（-1）=f（-1）+f（-1）+f（-1）+f（-1）=4f（-1）=1，
f（4）=f（3）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）+f（1）=4f（1）=-1，
又因?yàn)閒（x）在[-4，4]上是減函數(shù)，
所以，最大值為f（-4）=1，最小值為f（-1）=-1；
（Ⅲ）證明：∵f（0）=0，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0，∴$\frac{f（x）}{x}$＜0，
故$\frac{f（x）}{x}$＜0；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，∴f（-x）＜0，
由f（x-x）=f（x）+f（-x），得f（x）=-f（-x＞0，
∴$\frac{f（x）}{x}$＜0；
綜上：當(dāng)x≠0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}$＜0．
∴m+n≠0時(shí)，$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$，
∵f（m）+f（n）=f（m+n），
∴$\frac{f（m）+f（n）}{m+n}＜f（0）$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)定義法和賦值法是解決抽象函數(shù)問題的基本方法．注意把式子要變形、等價(jià)轉(zhuǎn)化．