Question

5．定義在R上的函數f（x）滿足f（-x）+f（x）=0，f（x）=-f（x+2），且x∈（-1，0）時，f（x）=2^x-$\frac{1}{5}$，則f（log₂20）=（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{3}{5}$
• C． -$\frac{4}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 由已知可得函數為定義域內的奇函數，并求得函數周期，把log₂20利用對數的運算性質轉化為（-1，0）內的函數值求解．

解答 解：由f（-x）+f（x）=0，可知函數f（x）為定義域內的奇函數，
由f（x）=-f（x+2），得f（x+2）=-f（x），
∴f[（x+2）+2]=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），
即f（4+x）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數．
又x∈（-1，0）時，f（x）=2^x-$\frac{1}{5}$，
∴f（log₂20）=f（-4+log₂20）=f（$lo{g}_{2}\frac{20}{16}$）
=f（$lo{g}_{2}\frac{5}{4}$）=-f（$lo{g}_{2}\frac{4}{5}$）=-${2}^{lo{g}_{2}\frac{4}{5}}+\frac{1}{5}$=$-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=-\frac{3}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查函數的周期性與奇偶性的性質，訓練了與抽象函數有關的函數性質的應用，是中檔題．