Question

7．如圖所示的三角形數(shù)陣叫“牛頓調(diào)和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為$\frac{1}{n}$（n≥2），每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如$\frac{1}{1}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，=$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$，$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{12}$，…，
則（1）第6行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為$\frac{1}{30}$；
（2）第n行第3個數(shù)（從左往右數(shù)）為$\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$．

Answer 1

分析 根據(jù)“牛頓調(diào)和三角形”的特征，每個數(shù)是它下一個行左右相鄰兩數(shù)的和，得出將楊暉三角形中的每一個數(shù)C_n^r都換成分數(shù)$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，就得到一個萊布尼茲三角形，從而可求出第n（n≥3）行第3個數(shù)字，第6行第2個數(shù)．

解答 解：將楊暉三角形中的每一個數(shù)C_n^r都換成分數(shù)$\frac{1}{（n+1）{C}_{n}^{r}}$，
就得到牛頓調(diào)和三角形．
∵楊暉三角形中第n（n≥3）行第3個數(shù)字是C_n-1²，
則“萊布尼茲調(diào)和三角形”第n（n≥3）行第3個數(shù)字是$\frac{1}{n{C}_{n-1}^{2}}$=$\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$，
第6行第2個數(shù)$\frac{1}{6×5}$=$\frac{1}{30}$，
故答案為：$\frac{1}{30}，\frac{2}{n（n-1）（n-2）}$

點評 本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過觀察分析歸納各數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．