Question

4．兩點(diǎn)A（1，0），B（3，2$\sqrt{3}$）到直線l的距離均等于1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 當(dāng)直線l平行于直線AB，設(shè)直線l的方程為$\sqrt{3}$x-y+c=0，由點(diǎn)到到直線l的距離求出c，從而求出直線l的方程；若直線l過AB中點(diǎn)C（2，$\sqrt{3}$），設(shè)直線l：y-$\sqrt{3}$=k（x-2），由點(diǎn)到直線距離公式求出k，若直線l的斜率不存在，則直線方程為x=2．從而求出直線l的方程．

解答 解：直線l平行于直線AB，
∵A（1，0），B（3，2$\sqrt{3}$），
∴直線AB的方程為$\frac{y}{x-1}=\frac{2\sqrt{3}}{3-1}$，即：$\sqrt{3}$x-y-$\sqrt{3}$=0，
設(shè)直線l的方程為$\sqrt{3}$x-y+c=0，
∵兩點(diǎn)A（1，0），B（3，2$\sqrt{3}$）到直線l的距離均等于1，
∴$\frac{|\sqrt{3}+c|}{\sqrt{3+1}}$=1，解得c=2-$\sqrt{3}$或c=-2-$\sqrt{3}$，
∴直線l的方程為$\sqrt{3}x-y-2-\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0．
若直線l過AB中點(diǎn)C（2，$\sqrt{3}$），設(shè)直線l：y-$\sqrt{3}$=k（x-2）
∵點(diǎn)A（1，0）到直線l的距離等于1，∴$\frac{|1+\sqrt{3}-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x-$\sqrt{3}$y+1=0．
若直線l的斜率不存在，則直線方程為x=2．
綜上，直線l的方程為x-$\sqrt{3}$y+1=0或$\sqrt{3}x-y-2-\sqrt{3}$=0或$\sqrt{3}$x-y+2-$\sqrt{3}$=0或x=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線距離公式的合理運(yùn)用．