Question

4．已知圓O：x²+y²=4，直線x-3y+10=0上有-動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作圓O的一條切線．切點(diǎn)為A，則$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$的最小值為6．

Answer 1

分析 要使$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$最小，只有P與O最近，故此時(shí)OP和直線x-3y+10=0垂直．求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得OP、PA的值，再利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$的最小值．

解答 解：由題意可得，要使$\overrightarrow{PO}$$•\overrightarrow{PA}$最小，只有P與O最近，
故此時(shí)OP和直線x-3y+10=0垂直．
設(shè)點(diǎn)P（3b-10，b），則有$\frac{b-0}{3b-10-0}$×$\frac{1}{3}$=-1，
求得b=3，
∴點(diǎn)P（-1，3），
∴OP=$\sqrt{10}$，切線PA=$\sqrt{O{P}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{10-4}$=$\sqrt{6}$，
cos∠OPA=$\frac{PA}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$，
∴$\overrightarrow{PO}$•$\overrightarrow{PA}$=$\sqrt{10}$×$\sqrt{6}$×$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$=6．
故答案為：6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直線和圓相切的性質(zhì)，兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義，兩條直線垂直的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．