Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x-sinx，則f（x）在[0，π]上的值域為[$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{π}{2}$]．

Answer 1

分析 先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，然后據(jù)單調(diào)性求出函數(shù)的值域．

解答 解：由題意得$f′（x）=\frac{1}{2}-cosx$，令f′（x）=0得x=$\frac{π}{3}$，
易知當(dāng)x$∈[0，\frac{π}{3}）$時，f′（x）＜0，此時f（x）遞減；
當(dāng)x∈$（\frac{π}{3}，π]$時，f′（x）＞0，此時f（x）遞增．
故f（x）_min=f（$\frac{π}{3}$）=$\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$；因為f（0）=0，f（π）=$\frac{π}{2}$．
故函數(shù)f（x）的值域為$[\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{π}{2}]$．
故答案為$[\frac{π}{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{π}{2}]$．

點評 本題考查了函數(shù)值域的求法，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性方法．屬于基礎(chǔ)題．