Question

18．已知函數(shù)f（x）=2^x+$\frac{a}{{2}^{x}}$（a為常數(shù)）．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，判斷y=f（x）的單調(diào)性并證明；
（2）若方程f（x）-1=0有兩個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）若y=f（x）為偶函數(shù)，且關(guān)于x的不等式f（x-4）≤m恰有3個(gè)正整數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析 （1）a＜0時(shí)，可以看出f（x）為增函數(shù)，根據(jù)增函數(shù)的定義，設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）由條件可知，f（x）圖象和y=1的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，根據(jù)（1）可知a＞0，且可得到x=$\frac{lo{g}_{2}a}{2}$時(shí)，f（x）取到最小值$2\sqrt{a}$，從而有$2\sqrt{a}＜1$，這便可得出實(shí)數(shù)a的范圍；
（3）由f（x）為偶函數(shù)可以求出m=1，從而可得出f（x-4）=$\frac{{2}^{x}}{16}+\frac{16}{{2}^{x}}$，可設(shè)f（x-4）=g（x），求導(dǎo)數(shù)$g′（x）=\frac{ln2（{2}^{x}+16）（{2}^{x}-16）}{16•{2}^{x}}$，從而可以得出x=4時(shí)，g（x）取最小值2，根據(jù)題意便知x=4，5，6時(shí)都滿足f（x-4）≤m，而x=7時(shí)不滿足f（x-4）≤m，從而可以得出f（2）≤m＜f（3），這樣便可得出實(shí)數(shù)m的范圍．

解答 解：（1）a＜0時(shí)，2^x單調(diào)遞增，∴$\frac{a}{{2}^{x}}$單調(diào)遞增；
∴f（x）單調(diào)遞增，證明如下：
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={2}^{{x}_{1}}+\frac{a}{{2}^{{x}_{1}}}-{2}^{{x}_{2}}-\frac{a}{{2}^{{x}_{2}}}$=$（{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}）（1-\frac{a}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}）$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}＜0$；
a＜0，∴$1-\frac{a}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＞0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞增；
（2）根據(jù)題意，f（x）和y=1有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
∴由（1）知，a＞0，且${x}_{1}，{x}_{2}∈（0，\frac{lo{g}_{2}a}{2}）$時(shí)，$1-\frac{a}{{2}^{{x}_{1}+{x}_{2}}}＜0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
${x}_{1}，{x}_{2}∈[\frac{lo{g}_{2}a}{2}，+∞）$時(shí)，f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（0，$\frac{lo{g}_{2}a}{2}$）上單調(diào)遞減，在[$\frac{lo{g}_{2}a}{2}$，+∞）上單調(diào)遞增；
∴$x=\frac{lo{g}_{2}a}{2}$時(shí)，f（x）取最小值$2\sqrt{a}$；
∴$2\sqrt{a}＜1$；
∴$0＜a＜\frac{1}{4}$；
∴實(shí)數(shù)a的范圍為$（0，\frac{1}{4}）$；
（3）$f（x）=\frac{{2}^{2x}+a}{{2}^{x}}$，f（x）為偶函數(shù)；
∴$f（-x）=\frac{{2}^{-2x}+a}{{2}^{-x}}=\frac{1+a•{2}^{2x}}{{2}^{x}}=\frac{a+{2}^{2x}}{{2}^{x}}$；
∴a=1；
∴$f（x）={2}^{x}+\frac{1}{{2}^{x}}$，f（x-4）=$\frac{{2}^{x}}{16}+\frac{16}{{2}^{x}}$，設(shè)f（x-4）=g（x），$g′（x）=\frac{ln2（{2}^{x}+16）（{2}^{x}-16）}{16•{2}^{x}}$；
∴x∈（0，4）時(shí)，g′（x）＜0，x∈（4，+∞）時(shí)，g′（x）＞0；
∴x=4時(shí)，g（x）取最小值2；
∵f（x-4）≤m恰有三個(gè)正整數(shù)解，則x=4，5，6都滿足f（x-4）≤m，x=7時(shí)，f（x-4）＞m；
∴f（2）≤m＜f（3）；
∴$\frac{17}{4}≤m＜\frac{82}{9}$；
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為$[\frac{17}{4}，\frac{82}{9}）$．

點(diǎn)評(píng) 考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)增函數(shù)的定義證明一個(gè)函數(shù)為增函數(shù)的方法和過程，作差的方法比較f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)最小值的方法，注意正確求導(dǎo)．