Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\stackrel{-1}{x}}&{\stackrel{x≤-1}{-1＜x＜-1}}\\{1}&{x≥1}\end{array}\right.$，函數(shù)g（x）=ax²+$\frac{1}{4}$．若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰有2個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）∪（2，+∞）
• C． （-∞，-$\frac{1}{2}$）∪（1，+∞）
• D． （-∞，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 化函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有2個不同零點為函數(shù)f（x）-$\frac{1}{4}$與函數(shù)y=ax²的圖象有兩個不同的交點，從而解得答案．

解答 解：若函數(shù)y=f（x）-g（x）恰好有2個不同零點，
則函數(shù)f（x）-$\frac{1}{4}$與函數(shù)y=ax²的圖象有兩個不同的交點，
在同一坐標(biāo)系中做出函數(shù)f（x）-$\frac{1}{4}$與函數(shù)y=ax²的圖象如下圖所示：

由圖可得：當(dāng)a＜0時，兩個函數(shù)圖象恒有兩個交點，
當(dāng)a＞0時，y=ax²與y=x-$\frac{1}{4}$相切時，a=2，
故當(dāng)a＞2時，兩個函數(shù)圖象恒有兩個交點，
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，0）∪（2，+∞），
故選：B．

點評 本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用及函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，難度中檔．