Question

17．已知橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，A、B為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上不同于A、B的動(dòng)點(diǎn)，直線(xiàn)x=4與直線(xiàn)PA、PB分別交于M、N兩點(diǎn)，若D（7，0），則過(guò)D、M、N三點(diǎn)的圓必過(guò)x軸上不同于點(diǎn)D的定點(diǎn)，其坐標(biāo)為（1，0）．

Answer 1

分析 設(shè)A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），由橢圓方程和直線(xiàn)的斜率公式，以及兩直線(xiàn)垂直的條件，計(jì)算即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：設(shè)A（-2，0），B（2，0），P（x₀，y₀），
則$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即有y₀²=3（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$），
設(shè)PA，PB的斜率為k₁，k₂，
則k₁•k₂=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-4}$=-$\frac{3}{4}$，
設(shè)PA：y=k₁（x+2），
則M（4，6k₁），
PB：y=k₂（x-2），則N（4，2k₂），
又k_DM=-$\frac{6{k}_{1}}{3}$=-2k₁，k_DN=-$\frac{2}{3}$k₂，k_DM•k_DN=-1，
設(shè)圓過(guò)定點(diǎn)F（m，0），則$\frac{6{k}_{1}}{4-m}$•$\frac{2{k}_{2}}{4-m}$=-1，
解得m=1或m=7（舍去），
故過(guò)點(diǎn)D，M，N三點(diǎn)的圓是以MN為直徑的圓過(guò)F（1，0）．
故答案為：（1，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查離心率公式的運(yùn)用，同時(shí)考查直線(xiàn)的斜率公式的運(yùn)用，圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，屬于中檔題．