Question

19．已知圓C：（x+1）²+y²=8，定點A（1，0），M為圓上一動點，點P在AM上，點N在CM上，且滿足|AP|=|PM|，NP⊥MA，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G，H（點G在F，H之間），且滿足$\overrightarrow{FG}=λ\overrightarrow{FH}$，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)推出|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2$\sqrt{2}$＞2=|CA|，再利用橢圓的定義知，點N的軌跡是以A、C 為焦點的橢圓，利用待定系數(shù)法求出橢圓的方程
（2）不妨設FH斜率為k，且將原點移至F，則直線FH方程為y=kx，則橢圓方程變?yōu)?\frac{{x}^{2}}{2}$+（y-2）²=1，將直線與橢圓方程聯(lián)立得（1+2k²）x²-8kx+6=0，結(jié)合題設條件求參數(shù)λ的范圍．

解答 解：（1）因為|AP|=|PM|，NP⊥MA，
所以NP為線段AM的垂直平分線，|NA|=|NM|，|NC+|NA|=|NC|+|NM|=2$\sqrt{2}$＞2=|CA|，
所以動點N的軌跡是以C（-1，0），A（1，0）為焦點的橢圓，…..（3分）
且長軸長為2A=2$\sqrt{2}$，焦距2c=2，所以A=$\sqrt{2}$，c=1，b²=1，
曲線E的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1…（5分）
（2）當斜率不存在時，直線與曲線E有2個交點此時參數(shù)的值為$λ=\frac{1}{3}$，
不妨設FH斜率為k，且將原點移至F，
則直線FH方程為y=kx，橢圓方程變?yōu)?\frac{{x}^{2}}{2}$+（y-2）²=1，
將直線方程代入橢圓得$\frac{{x}^{2}}{2}$+（kx-2）²=1，整理得（1+2k²）x²-8kx+6=0，
直線與曲線E有二不同的交點，故△=（-8k）²-4•6（1+2k²）=16k²-24＞0，即k²＞$\frac{3}{2}$，
因為左右對稱，可以研究單側(cè)，
當k＞0時，λ=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{-8k-\sqrt{16{k}^{2}-24}}{8k+\sqrt{16{k}^{2}-24}}$=$\frac{2-\sqrt{1-\frac{3}{2{k}^{2}}}}{2+\sqrt{1-\frac{3}{2{k}^{2}}}}$，
令t=$\sqrt{1-\frac{3}{2{k}^{2}}}$∈（0，1），則λ=$\frac{2-t}{2+t}$，t∈（0，1），
由于λ=$\frac{4}{2+t}$-1，故函數(shù)在t∈（0，1）上是減函數(shù)，故$\frac{1}{3}＜λ＜1$，
綜上，實數(shù)λ的取值范圍是$\frac{1}{3}≤λ＜1$．

點評 本題考查橢圓的定義的應用，軌跡方程的求法，考查計算能力．解題的關鍵是掌握圓錐曲線的定義，由題設條件判斷出所求的軌跡是橢圓，以及能將求兩線段比值的問題轉(zhuǎn)化為坐標比值，以利于用直線與圓錐曲線的方程研究參數(shù)的取值范圍