Question

10．將函數(shù)y=sinx+$\sqrt{3}$cosx的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位后，所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，1），則φ的最小值為$\frac{7π}{12}$．

Answer 1

分析 根據(jù)輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)得y=2sin（x+$\frac{π}{3}$），從而得出平移后的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）．由平移后的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，1），根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得解．

解答 解：y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=2（sinxcos$\frac{π}{3}$+cosxsin$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）．
將函數(shù)的圖象向右平移φ（φ＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到y(tǒng)=2sin[（x-φ）+$\frac{π}{3}$]=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）的圖象．
再向上平移1個(gè)單位后，得到y(tǒng)=2sin（x+$\frac{π}{3}$-φ）+1的圖象．
∵所得圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（$\frac{π}{4}$，1），
∴2sin（$\frac{π}{4}$+$\frac{π}{3}$-φ）+1=1，可得：2sin（$\frac{7π}{12}$-φ）=0，
∴$\frac{7π}{12}$-φ=kπ，（k∈Z），
∴得到φ的最小正值為$\frac{7π}{12}$．
故答案為：$\frac{7π}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題著重考查了三角恒等變換公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)和函數(shù)圖象平移公式等知識(shí)，屬于中檔題．