Question

2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，點E是棱PB的中點．求證：AE⊥平面PBC．

Answer 1

分析 由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB．又PA=AB，從而AE⊥PB．由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，由此能證明AE⊥平面PBC．

解答 證明：如圖，由PA⊥底面ABCD，
得PA⊥AB．又PA=AB，故△PAB為等腰直角三角形，
而點E是棱PB的中點，所以AE⊥PB．
由題意知BC⊥AB，又AB是PB在面ABCD內(nèi)的射影，
由三垂線定理得BC⊥PB，從而BC⊥平面PAB，
故BC⊥AE．因為AE⊥PB，AE⊥BC，所以AE⊥平面PBC．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的證明，考查了空間想象能力和推理論證能力，解題時要認真審題，屬于中檔題．