Question

18．已知橢圓Γ的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)$（1，\frac{3}{2}）$，它的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線 E：y²=4x的焦點(diǎn)重合．
（1）求橢圓Γ的方程；
（2）斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)F（1，0），且與拋物線 E交于A、B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P（-1，k），△PAB的面積為$4\sqrt{3}$，求k的值；
（3）若直線l過(guò)點(diǎn)M（0，m）（m≠0），且與橢圓Γ交于C、D兩點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q，直線QD的縱截距為n，證明：mn為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由題設(shè)得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+1\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），與橢圓方程聯(lián)立可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，l與拋物線 E有兩個(gè)交點(diǎn)，k≠0，△＞0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得|AB|，P（-1，k）到l的距離$d=\frac{3|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，又${S_{△PAB}}=4\sqrt{3}$，解出即可得出．
（3）由C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（-x₁，y₁），則直線$CD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，設(shè)x=0得m；直線$QD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，設(shè)x=0得n，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，由題設(shè)得$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a^2}+\frac{9}{{4{b^2}}}=1\\{a^2}={b^2}+1\end{array}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a^2}=4}\\{{b^2}=3}\end{array}}\right.$，
∴橢圓Γ的方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）設(shè)直線l：y=k（x-1），由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$，得k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
l與拋物線 E有兩個(gè)交點(diǎn)，k≠0，△=16（k²+1）＞0，
則$|{AB}|=\frac{{\sqrt{4（{k^4}+4{k^2}+4）-4{k^4}}}}{k^2}•\sqrt{1+{k^2}}=\frac{{4（{k^2}+1）}}{k^2}$，
P（-1，k）到l的距離$d=\frac{3|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，又${S_{△PAB}}=4\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}•\frac{{4（{k^2}+1）}}{k^2}•\frac{3|k|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=4\sqrt{3}$，
∴4k²=3k²+3，故$k=±\sqrt{3}$．  
（3）∵C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為Q（-x₁，y₁），
則直線$CD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}（x-{x_1}）$，設(shè)x=0得$m={y_1}-\frac{{{x_1}（{y_2}-{y_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{x_2}{y_1}-{x_1}{y_2}}}{{{x_2}-{x_1}}}$
直線$QD：y-{y_1}=\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}+{x_1}}}（x+{x_1}）$，設(shè)x=0得$n={y_1}+\frac{{{x_1}（{y_2}-{y_1}）}}{{{x_2}+{x_1}}}=\frac{{{x_2}{y_1}+{x_1}{y_2}}}{{{x_2}+{x_1}}}$，
∴$mn=\frac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{x_2^2-x_1^2}$，又$\frac{x_1^2}{4}+\frac{y_1^2}{3}=1$，$\frac{x_2^2}{4}+\frac{y_2^2}{3}=1$，
∴$y_1^2=\frac{3}{4}（4-x_1^2）$，$y_2^2=\frac{3}{4}（4-x_2^2）$，
∴$mn=\frac{x_2^2y_1^2-x_1^2y_2^2}{x_2^2-x_1^2}=\frac{{x_2^2•\frac{3}{4}（4-x_1^2）-x_1^2•\frac{3}{4}（4-x_2^2）}}{x_2^2-x_1^2}=3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓相交弦長(zhǎng)問(wèn)題、點(diǎn)到直線的距離公式、三角形面積計(jì)算公式、軸對(duì)稱問(wèn)題、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．