Question

9．如圖，已知PA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，直線(xiàn)PO交⊙O于點(diǎn)E、F，過(guò)點(diǎn)A作PO的垂線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)B，垂足為D．
證明：EF²=4OD•OP．

Answer 1

分析 由一對(duì)直角相等，一對(duì)公共角，得出△OAD～△OPA，由相似得比例，列出關(guān)系式，由OA為EF的一半，等量代換即可得證．

解答 證明：連接OA，
∵PA是圓的切線(xiàn)，∴∠OAP=90°．
∵∠OAP=∠ADO=90°，∠AOD=∠POA，
∴△OAD～△OPA，∴$\frac{OA}{OP}=\frac{OD}{OA}$
即OA²=OD•OP．
∵EF為圓的直徑，即EF=2OA，∴$\frac{1}{4}E{F^2}=OD•OP$，即EF²=4OD•OP…（10分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了切線(xiàn)的判定與性質(zhì)，相似的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線(xiàn)的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．