Question

10．若函數(shù)f（x）=ax³+2bx²-4x在x=-2與$x=\frac{2}{3}$處取得極值．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）已求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)f（x）在x=-2與$x=\frac{2}{3}$處取得極值，得導(dǎo)函數(shù)值為0，從而求出a，b的值；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，首先求出極值點(diǎn)，再進(jìn)行求解；

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax³+2bx²-4x，可得f′（x）=3ax²+4bx-4．
而f（x）在x=-2與$x=\frac{2}{3}$處取得極值，
∴$\left\{\begin{array}{l}f′（-2）=0\\ f′（\frac{2}{3}）=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}3a-2b-1=0\\ a+2b-3=0\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\end{array}\right.$，
函數(shù)f（x）的解析式f（x）=x³+2x²-4x．
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²-4x，
f′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2）
列表如下：

x	（-∞，-2）	（-2，$\frac{2}{3}$）	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	-	+
f（x）	單增	單減	單增

∴f（x）的單增區(qū)間分別是（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞），單減區(qū)間是（-2，$\frac{2}{3}$）．
所求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：（-∞，-2），（$\frac{2}{3}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，明確極值點(diǎn)與f′（x）的關(guān)系，是一道中檔題；