Question

19．已知f（x）=$\frac{1}{2}a{x^2}$-（2a+1）x+2lnx．
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求實數(shù)a的值；
（2）求f（x）單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)g（x）=x²-2x，若對任意的x₁∈（0，2]，存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）＜g（x₂），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$f'（x）=ax-（2a+1）+\frac{2}{x}$，（x＞0）．利用f'（1）=f'（3），即可解得a．
（2）$f'（x）=ax-（2a+1）+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$，（x＞0）．f′（x）的符號與分子的符號相同，ax²-（2a+1）x+2=（ax-1）（x-2），x＞0．對a分類討論即可得出單調(diào)區(qū)間．
（3）g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，對任意的x∈[0，2]，g（x）_max=0．對任意的x₁∈[0，2]，存在x₂∈[0，2]，使f（x₁）＜g（x₂），等價于f（x）_max＜g（x）_max=0，利用（2）的結(jié)論求出f（x）_max，即可得出．

解答 解：（1）$f'（x）=ax-（2a+1）+\frac{2}{x}$，（x＞0）．
f′（1）=f′（3），∴$a=\frac{2}{3}$．
（2）$f'（x）=ax-（2a+1）+\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$，（x＞0）．
分子ax²-（2a+1）x+2=（ax-1）（x-2），x＞0．
①a≤0時，0＜x＜2是，f′（x）＞0，f（x）在（0，2）遞增；
x＞2時，f′（x）＜0，可得在（2，+∞）遞減．
②a＞0時，當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，2），（\frac{1}{a}，+∞）$遞增，$（2，\frac{1}{a}）$遞減，
③當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，\frac{1}{a}），（2，+∞）$遞增，$（\frac{1}{a}，2）$遞減，
④當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，+∞）遞增．
綜上：a≤0時，f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減．
a＞0時，當(dāng)$0＜a＜\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，2），（\frac{1}{a}，+∞）$遞增，$（2，\frac{1}{a}）$遞減，
當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時，f（x）在$（0，\frac{1}{a}），（2，+∞）$遞增，$（\frac{1}{a}，2）$遞減，
當(dāng)$a=\frac{1}{2}$時，f（x）在（0，+∞）遞增．
（3）g（x）=x²-2x=（x-1）²-1，對任意的x∈[0，2]，g（x）_max=g（0）=g（2）=0．
f（x）_max＜g（x）_max=0，
由（2）知，①$a≤\frac{1}{2}$時，f（x）在[0，2]遞增，f（x）_max=f（2）＜0，
∴$ln2-1＜a≤\frac{1}{2}$．
②$a＞\frac{1}{2}$時，$f{（x）_{max}}=f（\frac{1}{a}）=-2-\frac{1}{2a}-2lna＜0$恒成立，∴$a＞\frac{1}{2}$．
綜上所述：a＞ln2-1．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．