Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a₁=3，a₂+a₃=36．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}對(duì)任意的正整數(shù)n都有$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，求b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅的值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，由于a₁=3，a₂+a₃=36．根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n．
（2）由于數(shù)列{b_n}對(duì)任意的正整數(shù)n都有$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=3，解得b₁．當(dāng)n≥2時(shí)，可得$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2，再利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，∵a₁=3，a₂+a₃=36．
∴3（q+q²）=36，解得q=3．
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵數(shù)列{b_n}對(duì)任意的正整數(shù)n都有$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2n+1，
∴當(dāng)n=1時(shí)，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$=3，解得b₁=9．
當(dāng)n≥2時(shí)，$\frac{_{1}}{{a}_{1}}$+$\frac{_{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{_{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{_{n-1}}{{a}_{n-1}}$=2n-1，
∴$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=2，∴b_n=2a_n=2×3ⁿ．
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{9，n=1}\\{2×{3}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴b₁+b₂+b₃+…+b₂₀₁₅=9+2（3²+3³+…+3²⁰¹⁵）
=3+$\frac{2×3（{3}^{2015}-1）}{3-1}$
=3²⁰¹⁶．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．