Question

8．已知函數(shù)f（x）=sin2x+acosx+x在點(diǎn)x=$\frac{π}{6}$處取得極值．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（$\frac{π}{6}$）=0，求出a的值即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2x+acosx+x，
f′（x）=2cos2x-asinx+1，
f′（$\frac{π}{6}$）=2cos$\frac{π}{3}$-asin$\frac{π}{6}$+1=0，
解得：a=4；
（2）由（1）得：f（x）=sin2x+4cosx+x，
f′（x）=2cos2x-4sinx+1=2-4sin²x-4sinx+1=-（2sinx+1）²+4，
令f′（x）＞0，解得：-$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$＜x＜$\frac{7π}{6}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{π}{6}$＜x＜$\frac{5π}{6}$，
∴f（x）在[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$）遞增，在（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$）遞減，在（$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$）遞增，
∴f（x）的最大值是f（$\frac{7π}{6}$）或f（$\frac{π}{6}$），
而f（$\frac{7π}{6}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-2+$\frac{7π}{6}$＜f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$，
故f（x）的最大值是f（$\frac{5π}{6}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{π}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及三角函數(shù)問題，是一道中檔題．