計算：
（1）
n
i=1
(1+
i
n
)2×
1
n

（2）
lim
n→∞
n
i=1
(1+
i
n
)2×
1
n

（3）
lim
n→∞
n
i=1
[(
i
n
)2+1]×
1
n

（4）
n
i=1
[(
i
n
)2+1]×
1
n
．
考點：極限及其運算
專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法
分析：（1）利用等差數(shù)列的前n項和公式及公式[12+22+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
]即可得出；
（2）利用（1）和極限的運算性質(zhì)即可得出；
（4）利用等差數(shù)列的前n項和公式及公式[12+22+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
]即可得出；
（3）利用（4）和極限的運算性質(zhì)即可得出．
解答： 解：（1）∵(1+
i
n
)2=1+
2i
n
+(
i
n
)2，
∴
n
i=1
(1+
i
n
)2×
1
n
=
1
n
[n+n+1+
n(n+1)(2n+1)
6n2
]=
1
6
(2+
1
n
)(7+
1
n
)．
（2）由（1）可得
lim
n→∞
n
i=1
(1+
i
n
)2×
1
n
=
1
6
×2×7=
7
3
．
（4）
n
i=1
[(
i
n
)2+1]×
1
n
=[
n(n+1)(2n+1)
6n2
+n]×
1
n
=
1
6
[(1+
1
n
)(2+
1
n
)+1]．
（3）由（4）可得
lim
n→∞
n
i=1
[(
i
n
)2+1]×
1
n
=
1
6
(1×2+1)=
1
2
．
點評：本題考查了等差數(shù)列的前n項和公式及公式[12+22+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
]、極限的運算性質(zhì)等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設xi∈N（i=1，2，3，4，5，6…），則滿足x1＜x2＜x3＜x4＜10的有序數(shù)組（x1，x2，x3，x4）的個數(shù)為（　�。�
A、126B、3024
C、210D、5040

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

化簡：cos2（
π
2
-α）-sin（α-2π）sin（π+α）-sin2（-α）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

唐徠回中隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖，其中，上學所需時間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，
（1）求直方圖中的x的值；
（2）如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請住校，請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住校；
（3）學校規(guī)定上學時間在[0，20）的學生只能步行，上學時間在[20，40）的學生只能騎自行車，現(xiàn)在用分層抽樣方法從[0，20）和[20，40）中抽取6名學生，再從這6名學生中任意抽取兩人，問這兩人都騎自行車的概率是多少？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)共有100萬人，現(xiàn)從中隨機抽查800人，發(fā)現(xiàn)有700人不吸煙，100人吸煙．這100位吸煙者年均煙草消費支出情況的頻率分布直方圖如圖．將頻率視為概率，回答下列問題：
（Ⅰ）在該地區(qū)隨機抽取3個人，求其中至少1人吸煙的概率；
（Ⅱ）據(jù)統(tǒng)計，煙草消費稅大約為煙草消費支出的40%，該地區(qū)為居民支付因吸煙導致的疾病治療等各種費用年均約為18800萬元．問：當?shù)責煵菹M稅是否足以支付當?shù)鼐用褚蛭鼰煂е碌募膊≈委煹雀鞣N費用？說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
lnx
x
，x＞6
e-x(x3+3x2+ax+b)，x≤6
，其中a，b∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）當a=b=-3時，函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當x≤6時，若函數(shù)h（x）=f（x）-e-x（x3+b-1）存在兩個相距大于2的極值點，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)g（x）與函數(shù)f（x）的圖象關于y軸對稱，且函數(shù)g（x）在點（-6，m），（2，n）單調(diào)遞減，在（m，2），（n，+∞）單調(diào)遞增，試證明：f（n-m）＜
5
6
36
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設關于x的方程x2+tx-1=0的兩根為α，β（α＜β，函數(shù)f（x）=
2x+t
x2+1
）．
（1）用t表示f（α）+f（β）；
（2）證明：f（x）在[α，β]上是增函數(shù)；
（3）對任意正數(shù)x1，x2，求證：-2β＜f（
x1α+x2β
x1+x2
）+f（
x1β+x2α
x1+x2
）＜-2α．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

據(jù)調(diào)查統(tǒng)計，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如下表．
（Ⅰ）為進行某項研究，從所用時間為12天的60輛汽車中隨機抽取6輛．
（i）若用分層抽樣的方法抽取，求從通過公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；
（ii）若從（i）的條件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取兩輛汽車，求這兩輛汽車至少有一輛通過公路1的概率．
所用的時間（天） 10 11 12 13
通過公路1的頻數(shù) 20 40 20 20
通過公路2的頻數(shù) 10 40 40 10
（Ⅱ）假設汽車A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)．為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物運往城市乙，估計汽車A和汽車B應如何選擇各自的路徑．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

變量x，y滿足條件
x+2y-1≥0
x-y+2≥0
2x+y-5≤0
，則3x-2y的最大值為
 
．

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