Question

2．已知拋物線(xiàn)y²=ax（a＞0），過(guò)動(dòng)點(diǎn)P（m，0）且斜率為1的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于不同的兩點(diǎn)A，B，|AB|≤a．
（1）求m的取值范圍；
（2）若線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)Q，求△QAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出直線(xiàn)的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立消去y，設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)兩個(gè)不同的交點(diǎn)坐標(biāo)為A，B，進(jìn)而根據(jù)判別是對(duì)大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表達(dá)式，求得AB的長(zhǎng)度的表達(dá)式，根據(jù)|AB|的范圍確定a的范圍
（2）求出線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程，得Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出△NAB的面積，根據(jù)|AB|范圍確定三角形面積的最大值．

解答 解：（1）設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=x-m代入y²=ax，
得y²-ay-am=0．
設(shè)直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)兩個(gè)不同的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
△=a²-4（-am）＞0，∴m＞-$\frac{a}{4}$，
y₁+y₂=a，y₁y₂=-am，
|AB|=$\sqrt{2}•$$\sqrt{（{a}^{2}+4am）}$≤a，∴m$≤-\frac{a}{8}$，
∴-$\frac{a}{4}$＜m$≤-\frac{a}{8}$；
（2）由（1）線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{a}{2}$+m，$\frac{a}{2}$），
線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)方程為y-$\frac{a}{2}$=-（x-$\frac{a}{2}$-m），
令y=0，可得Q（m+a，0），
Q到AB的距離d=$\frac{a}{\sqrt{2}}$，
∴△QAB面積S=$\frac{1}{2}•\frac{a}{\sqrt{2}}•|AB|$≤$\frac{1}{2}•\frac{a}{\sqrt{2}}•a$=$\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$，
∴△QAB面積的最大值為$\frac{\sqrt{2}}{4}{a}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的基本概念及位置關(guān)系，考查運(yùn)用解析幾何的方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．