Question

7．設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在上（0，+∞）的減函數(shù)，并且滿足f（xy）=f（x）+f（y），$f（\frac{1}{3}）=\frac{1}{2}$．
（1）求f（1）；
（2）若存在實數(shù)m，使得f（m）=1，求m的值；
（3）若f（x-2）＞1+f（x），求x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=1，代入求解即可．
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進行求解即可．
（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性以及抽象函數(shù)的關(guān)系解不等式即可．

解答 解：（1）令x=y=1，則f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
（2）∵f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，
∴f（$\frac{1}{9}$）=f（$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{3}$）=f（$\frac{1}{3}$）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=1，
∴m=$\frac{1}{9}$；
（3））∵f（x-2）＞1+f（x），
∴f（x-2）＞f（$\frac{1}{9}$）+f（x）=f（$\frac{1}{9}$x），
∵函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-2＞0}\\{x＞0}\\{x-2＜\frac{1}{9}x}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{x＞2}\\{x＞0}\\{x＜\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，得2＜x＜$\frac{9}{4}$，
∴x的取值范圍2＜x＜$\frac{9}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性及運用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，考查基本的運算能力．