Question

13．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，其長軸兩端點與雙曲線兩焦點重合，而雙曲線的兩個頂點又是橢圓的焦點．求此雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 求出橢圓的頂點坐標，焦點坐標，即可得到雙曲線焦點坐標與頂點坐標，然后求解雙曲線方程．

解答 解：∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的焦點為（0，±3），y軸上的兩個頂點為（0，±4），
∴雙曲線中a=3，c=4．
∴b²=c²-a²=7
∴雙曲線的方程為$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{7}=1$．
故答案為：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{7}=1$．

點評 解決圓錐曲線的方程問題一定要注意橢圓中三個參數(shù)的關(guān)系為：a²=b²+c²；雙曲線中三個參數(shù)的關(guān)系為c²=b²+a²