Question

11．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的左右焦點分別是F₁，F(xiàn)₂，若以線段F₁F₂為直徑的圓與橢圓有交點，則橢圓C的離心率的取值范圍是$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

Answer 1

分析 通過聯(lián)立圓與橢圓方程，利用根的判別式為非負數(shù)，計算即得結(jié)論．

解答 解：由題可知以F₁F₂為直徑的圓的方程為：x²+y²=c²，
將其代入橢圓方程，消去y可得：（a²-b²）x²+a²b²-a²c²=0，
∵圓與橢圓有交點，
∴△=0-4（a²-b²）（a²b²-a²c²）≥0，
∴c²•a²•（a²-2c²）≤0，
∴a²≤2c²，即e≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又橢圓斜率e＜1，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤e＜1．

點評 本題考查圓與圓錐曲線的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于中檔題．