Question

5．已知c是雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的半焦距，則$\frac{c}{a+b}$的最小值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 由c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，又a²+b²≥2ab，代入所求式子，計(jì)算即可得到最小值．

解答 解：由雙曲線的方程可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$，
又a²+b²≥2ab，
即有$\frac{c}{a+b}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a+b}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}+2ab+^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{2ab}{{a}^{2}+^{2}}}}$≥$\sqrt{\frac{1}{1+1}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的a，b，c的關(guān)系，同時(shí)考查重要不等式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．