Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}$，（ω＞0），其最小正周期為$\frac{π}{2}$．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若關(guān)于x的方程g（x）+m=0在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一個實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=$sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$，由題意及周期公式可求ω的值，即可得解．
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得g（x）=sinx，在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一個實(shí)數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=-m在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一個交點(diǎn)，由正弦函數(shù)的圖象可解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）$f（x）=\sqrt{3}sinωx•cosωx+{cos^2}ωx-\frac{1}{2}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx+\frac{1+cos2ωx}{2}-\frac{1}{2}$
=$sin（{2ωx+\frac{π}{6}}）$，
由題意知f（x）的最小正周期$T=\frac{π}{2}$，$T=\frac{2π}{2ω}=\frac{π}{ω}=\frac{π}{2}$，
所以ω=2，
所以$f（x）=sin（{4x+\frac{π}{6}}）$．
（2）將f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{24}$個單位后，得到y(tǒng)=sin4x的圖象；
再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍（縱坐標(biāo)不變），得到y(tǒng)=sinx的圖象，
所以g（x）=sinx，g（x）+m=0在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一個實(shí)數(shù)解，即函數(shù)y=g（x）與y=-m在區(qū)間$[{0，\frac{5π}{6}}]$上有且只有一個交點(diǎn)，
由正弦函數(shù)的圖象可知$0≤-m＜\frac{1}{2}或-m=1$，
解得$-\frac{1}{2}＜m≤0或m=-1$，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（{-\frac{1}{2}，0}]∪\left\{{-1}\right\}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，周期公式，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合能力，屬于中檔題．