Question

20．已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y²=12x的焦點(diǎn)F，且與直線2x-y+6=0垂直．
（1）求直線l的方程；
（2）已知圓x²+y²+x-6y+m=0與直線l交于P，Q兩點(diǎn)，以P，Q兩點(diǎn)為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知直線l過(guò)點(diǎn)F（2，0），斜率k=-$\frac{1}{2}$，由此能求出直線l的方程．
（2）由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-2=0聯(lián)立，得$\frac{5}{4}$x²-3x+m+7=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，能求出m．

解答 解：（1）∵直線l經(jīng)過(guò)拋物線y²=12x的焦點(diǎn)F，且與直線2x-y+6=0垂直，
∴直線l過(guò)點(diǎn)F（2，0），斜率k=-$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為：$y=-\frac{1}{2}（x-2）$，即x+2y-2=0．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由x²+y²+x-6y+m=0和x+2y-2=0聯(lián)立，消去y得：
$\frac{5}{4}$x²-3x+m+7=0，
∴x₁+x₂=$\frac{12}{5}$，x₁x₂=$\frac{4m+28}{5}$，
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，
∴OP⊥OQ，可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=0
即x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{1}{4}$（2-x₁）（2-x₂）=2x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
結(jié)合前面根與系數(shù)關(guān)系表達(dá)式，代入得：
2×$\frac{4m+28}{5}$-2×$\frac{12}{5}$+4=0，
解得m=-$\frac{13}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理的合理運(yùn)用．