Question

10．已知A，B是雙曲線C的兩個頂點，直線l與雙曲線C交于不同的兩點P，Q，且與實軸所在直線垂直，若$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{AQ}$=0，則雙曲線C的離心率e=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），設直線x=t，代入雙曲線的方程，求得P，Q的坐標，A，B的坐標，由于向量的坐標和數(shù)量積的坐標表示，計算即可得到離心率．

解答 解：設雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
設直線x=t，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$，
由題意可得A（-a，0），B（a，0），P（t，b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$），Q（t，-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$），
即有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{AQ}$=（a-t，-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$）•（a+t，-b$\sqrt{\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}-1}$）
=（a-t）（a+t）+b²（$\frac{{t}^{2}}{{a}^{2}}$-1）=a²-t²+$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$（t²-a²）=0，
由于t≠a，可得a=b，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}{a}$=$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，考查向量的數(shù)量積的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．