Question

8．函數(shù)f（x）=2sin（2x+θ+$\frac{π}{3}$）（-$\frac{π}{2}$≤θ＜$\frac{3π}{2}$）為奇函數(shù)，且在[-$\frac{π}{4}$，0]上為減函數(shù)的θ值是$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)的奇偶性確定θ的取值，討論k為奇數(shù)和偶數(shù)，運(yùn)用正弦函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：由于函數(shù)為奇函數(shù)，故有θ+$\frac{π}{3}$=kπ，
即：θ=kπ-$\frac{π}{3}$（k∈Z），
則f（x）=2sin（2x+kπ），
若k為偶數(shù)，則f（x）=2sin2x，在[-$\frac{π}{4}$，0]上是增函數(shù)，不滿足條件；
若k為奇數(shù)，則f（x）=-2sin2x，在[-$\frac{π}{4}$，0]上是減函數(shù)，滿足條件．
故滿足條件的所有的θ=（2n+1）π-$\frac{π}{3}$=2nπ+$\frac{2π}{3}$，n∈Z．
∵-$\frac{π}{2}$≤θ＜$\frac{3π}{2}$，∴當(dāng)θ=$\frac{2π}{3}$時(shí)，f（x）=-2sin2x其在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，0]上遞減，
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，及誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．