Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃=7，a₅+a₇=26，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=3^a_n（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可得出．
（2）利用等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=3}\\{d=2}\end{array}\right.$．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
（2）由（1）可得：b_n=3^a_n=3²ⁿ⁺¹=3×9ⁿ．
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3×$\frac{9×（{9}^{n}-1）}{9-1}$=$\frac{27}{8}（{9}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．