Question

9．在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠ACB=90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，若PA=AB=2，則當(dāng)△AEF的面積最大時，BC=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)AC=x，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得：PA⊥AB，PA⊥AC．又AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，PA=AB=2，利用三角形面積計算公式可得：AE=$\sqrt{2}$，AF=$\frac{2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$．又∠ACB=90°，可得AF⊥平面PBC，AF⊥EF，S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF，通過換元利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：如圖所示，設(shè)AC=x，
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC．
又AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，PA=AB=2，
∴AE=$\frac{2×2}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，AF=$\frac{2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$．
又∠ACB=90°，∴BC⊥AF，
又PC∩BC=C，∴AF⊥平面PBC．
又EF?平面PBC．
∴AF⊥EF，
EF=$\sqrt{A{E}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{\frac{8-2{x}^{2}}{4+{x}^{2}}}$．
∴S_△AEF=$\frac{1}{2}$AF•EF=$\frac{1}{2}×$$\frac{2x}{\sqrt{4+{x}^{2}}}$×$\sqrt{\frac{8-2{x}^{2}}{4+{x}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{8{x}^{2}-2{x}^{4}}{（4+{x}^{2}）^{2}}}$．
令4+x²=t＞4，∴x²=t-4．
f（t）=$\frac{8（t-4）-2（t-4）^{2}}{{t}^{2}}$=$\frac{-2{t}^{2}+24t-64}{{t}^{2}}$=$-64（\frac{1}{t}-\frac{3}{16}）^{2}$+$\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=$\frac{16}{3}$，即x=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$時，f（t）取得最大值$\frac{1}{4}$．
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$時，S_△AEF取得最大值$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、勾股定理、直角三角形的邊角關(guān)系、二次函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．