Question

4．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a＞b且tanB•tanC=-1，則$\frac{c}$的取值范圍是（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 利用差角的余弦公式，結(jié)合條件可得C=B+$\frac{π}{2}$，A＞B，確定B的范圍，利用正弦定理，即可求出$\frac{c}$的取值范圍．

解答 解：∵tanB•tanC=-1，
∴sinB•sinC=-cosBcosC，
∴cos（B-C）=0，
∵A，B，C是△ABC的內(nèi)角，a＞b
∴C=B+$\frac{π}{2}$，A＞B，
∵A+B+C=π，∴A+B+（B+$\frac{π}{2}$）=π，
∴A+2B=$\frac{π}{2}$，
∵A＞B，
∴A+2B＞3B，
∴0＜B＜$\frac{π}{6}$，
∴0＜tanB＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=tanB∈（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．
故答案為：（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查差角的余弦公式，正弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定B的范圍是關(guān)鍵．