Question

16．已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F到雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的漸近線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，A，B為拋物線上的兩動點，線段AB的中點M在定直線y=2上，則直線AB的斜率為1．

Answer 1

分析 利用拋物線y²=2px（p＞0）的焦點到雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的漸近線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，建立方程，求出p，可得拋物線的方程，設(shè)AB的方程為x=my+b，代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，利用線段AB的中點M在定直線y=2上，求出m，即可求出直線AB的斜率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的漸近線的方程為y=±$\sqrt{3}$x，
∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點到雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{{3{a^2}}}$=1的漸近線的距離為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$\frac{|\frac{\sqrt{3}p}{2}|}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x，
設(shè)AB的方程為x=my+b，代入y²=4x，可得y²-4my-4b=0，
∵線段AB的中點M在定直線y=2上，
∴4m=4，
∴m=1，
∴直線AB的斜率為1．
故答案為：1．

點評 本題考查直線AB的斜率，考查拋物線、雙曲線的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求出拋物線的方程是關(guān)鍵．