Question

13．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的n∈N^*，均有a_n，S_n，$a_n^2$成等差數(shù)列，則a_n=n．

Answer 1

分析 由已知條件推導(dǎo)出2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，從而得到{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，由此能求出a_n=n．

解答 解：∵各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，
對(duì)任意n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數(shù)列，
∴2S_n=a_n+a_n²，2S_n-1=a_n-1+a_n-1²，
兩式相減，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
又a_n，a_n-1為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1，n≥2，
∴{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，
當(dāng)n=1時(shí)，2S₁=a₁+a₁²，得a₁=1，或a₁=0（舍），
∴a_n=n．
故答案為：n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，屬于中檔題．