Question

7．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓的左右焦點，點P（1，$\frac{3}{2}$）為其上一點，且有|PF₁|+|PF₂|=4
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）是否存在直線與橢圓交于M，N兩點，且線段MN的中點為點（1，$\frac{1}{2}$），若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由？
（3）若直線y=kx+2與橢圓交于A，B兩點，當(dāng)k為何值時，OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點）？

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），由橢圓的定義可得2a=4，點P代入橢圓方程，解方程可得b，進而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，可得直線的斜率，進而得到直線方程；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用韋達定理，結(jié)合兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，解方程即可得到k．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由已知|PF₁|+|PF₂|=4，得2a=4，即有a=2，
點P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，即有$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4^{2}}$=1，即有b=$\sqrt{3}$，
則所求橢圓方程是$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）若存在這樣的直線l，依題意，l不垂直x軸，
設(shè)l方程$y-\frac{1}{2}=k（x-1）$代入橢圓方程，
可得（3+4k²）x²+8k（$\frac{1}{2}$-k）x+4（k-$\frac{1}{2}$）²-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），有$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=1$，
得  $\frac{{8k（k-\frac{1}{2}）}}{{3+4{k^2}}}=2，得，k=-\frac{3}{2}$，
又∵點C（1，$\frac{1}{2}$）在橢圓內(nèi)部，故所求直線l方程 $y=-\frac{3}{2}x+2$；
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立方程：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+2\end{array}\right.$，化簡得：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
則${x_1}+{x_2}=-\frac{16k}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}•{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，
∵OA⊥OB∴x₁•x₂+y₁y₂=0，
又${y_1}{y_2}=（k{x_1}+2）（k{x_2}+2）={k^2}{x_1}{x_2}+2k（{x_1}+{x_2}）+4$，
∴$（1+{k^2}）\frac{4}{{3+4{k^2}}}+2k•\frac{-16k}{{3+4{k^2}}}+4=0$，
解得：${k^2}=\frac{4}{3}$，∴$k=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
經(jīng)檢驗滿足△＞0，
∴當(dāng)$k=±\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$時，OA⊥OB．

點評 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理和中點坐標(biāo)公式，同時考查直線垂直的條件，屬于中檔題．