Question

18．已知f（x）=2+log₂x（1≤x≤8），判斷函數(shù)g（x）=f²（x）+f（2^x）有無零點？若有零點，求出零點；若無零點，則說明理由．

Answer 1

分析 根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)g（x）=f²（x）+f（2^x）為增函數(shù)，且值域為[7，35]，進而得到答案．

解答 解：∵f（x）=2+log₂x（1≤x≤8）為增函數(shù)，且值域為[2，5]，
∴y=f²（x）為增函數(shù)，且值域為[4，25]，
又∵f（2^x）=2+x，1≤x≤8為增函數(shù)，且值域為[3，10]，
∴函數(shù)g（x）=f²（x）+f（2^x）為增函數(shù)，且值域為[7，35]，
故函數(shù)g（x）=f²（x）+f（2^x）無零點．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)零點的判定定理，分析出函數(shù)的單調(diào)性和值域，是解答的關(guān)鍵．