Question

4．己知圓0：x²+y²=4和點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），過點(diǎn)A的動(dòng)直線l與圓O相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程：
（2）求$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的最大值與最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入圓0：x²+y²=4，利用韋達(dá)定理，結(jié)合$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$求點(diǎn)P的軌跡方程：
（2）求出$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$，即可得到最大值與最小值．

解答 解：（1）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），則
設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入圓0：x²+y²=4，整理可得（1+m²）y²+2my-3=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{3}{1+{m}^{2}}$
∴x₁+x₂=$\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{BP}$=$\overrightarrow{BM}$+$\overrightarrow{BN}$，
∴（x+1，y）=（x₁+1，y₁）+（x₂+1，y₂），
∴x=x₁+x₂+1=$\frac{2}{1+{m}^{2}}$，y=y₁+y₂=-$\frac{2m}{1+{m}^{2}}$，
∴x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1；
（2）$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$=（x₁+1，y₁）•（x₂+1，y₂）=x₁x₂+（x₁+x₂）+1+y₁y₂=-$\frac{4{m}^{2}}{1+{m}^{2}}$，
∴m=0取得最大值0，無最小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．