Question

16．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{-{2}^{x}+a}{{2}^{x+1}+2}$（a為實常數(shù)）是奇函數(shù)g（x）=2（x-x²）．
（Ⅰ）求a的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對任意的t∈[-1，4]，不等式f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m為實常數(shù)）都成立，求m的取值范圍．
（Ⅲ）記F₁（x）=f（x）+x2-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₂（x）=g（x），F(xiàn)₃（x）=$\frac{1}{3}$|sin2πx|，b₁=$\frac{i}{100}$，i=0，1，2，…，100，若M_k=|F_k（b₁）-F_k（b₀）|+|F_k（b₂）-F_k（b₁）|+…+|F_k（b₁₀₀）-F_k（b₉₉）|，k=1，2，3，試比較M₁，M₂，M₃的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)得f（0）=0，求出a的值，再用定義證明函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性；
（2）應(yīng)用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為：2（t-t²）-1＞-8t-m恒成立，再用分離參數(shù)法求解；
（3）先求出各函數(shù)，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)單調(diào)性對M_k分段計算，最后比較大�。�

解答 解：（1）因為f（x）為奇函數(shù)，所以f（0）=0，解得a=1，
此時，f（x）=$\frac{1-2^x}{2（1+2^x）}$，驗證如下：
f（-x）=$\frac{1-{2}^{-x}}{2（1+{2}^{-x}）}$=-$\frac{1-2^x}{2（1+2^x）}$=-f（x），符合題意，
又f（x）=$\frac{1-2^x}{2（1+2^x）}$=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2^x+1}$，則f（x）為R上單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：
任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
所以，f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）由（1）可知，f（x）R上的奇函數(shù)，減函數(shù)，
所以，原不等式可等價為：f[2（t-t²）-1]＜f（-8t-m），
即2（t-t²）-1＞-8t-m，分離參數(shù)m得，m＞2t²-10t+1，
根據(jù)題意，m＞（2t²-10t+1）_max，其中，t∈[-1，4]，
而2t²-10t+1=2（t-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{23}{2}$∈[-$\frac{23}{2}$，13]，
因此，實數(shù)m的取值范圍為：[13，+∞）；
（3）根據(jù)題意，逐個考察各函數(shù)：
①F₁（x）=f（x）+x²-$\frac{1}{{2}^{x}+1}$+$\frac{1}{2}$=x²，在[0，1]上單調(diào)遞增，
所以，M₁=|F₁（b₁）-F₁（b₀）|+|F₁（b₂）-F₁（b₁）|+…+|F₁（b₁₀₀）-F₁（b₉₉）|
=F₁（b₁₀₀）-F₁（b₀）=F₁（1）-F₁（0）=1，即M₁=1，
②F₂（x）=g（x）=2（x-x²），圖象的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
所以F₂（x）在（0，$\frac{1}{2}$）遞增，在（$\frac{1}{2}$，1）單調(diào)遞減，
所以，M₂=|F₂（b₁）-F₂（b₀）|+|F₂（b₂）-F₂（b₁）|+…+|F₂（b₁₀₀）-F₂（b₉₉）|
=[F₂（b₅₀）-F₂（b₀）]+[F₂（b₅₀）-F₂（b₁₀₀）]
=2F₂（b₅₀）-F₂（b₀）-F₂（b₁₀₀）=2×$\frac{1}{2}$-0-0=1，即M₂=1，
③F₃（x）=$\frac{1}{3}$|sin2πx|，在x∈[0，$\frac{1}{4}$]遞增，在[$\frac{1}{4}$，$\frac{3}{4}$]遞減，在[$\frac{3}{4}$，1]遞增，
所以，M₃=|F₃（b₁）-F₃（b₀）|+|F₃（b₂）-F₃（b₁）|+…+|F₃（b₁₀₀）-F₃（b₉₉）|
=F₃（b₂₅）-F₃（b₀）+F₃（b₂₅）-F₃（b₇₅）+F₃（b₁₀₀）-F₃（b₇₅）
=[F₃（b₂₅）-F₃（b₀）]+[F₃（b₂₅）-F₃（b₇₅）]+[F₃（b₁₀₀）-F₃（b₇₅）]
=$\frac{1}{3}$[1-0]+$\frac{1}{3}$[1-（-1）]+$\frac{1}{3}$[0-（-1）]=$\frac{4}{3}$，即M₃=$\frac{4}{3}$，
所以，M₁，M₂，M₃的大小關(guān)系為：M₁=M₂＜M₃．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷和證明，以及單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問題的解法，屬于難題．