Question

4．已知邊長為2的正三角形ABC外一點(diǎn)P滿足PA=PB=PC=5，求二面角A-PB-C的大�。�

Answer 1

分析 根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵邊長為2的正三角形ABC外一點(diǎn)P滿足PA=PB=PC=5，
∴取BC的中點(diǎn)D，則PD⊥BC，
則△PBC≌△PBA，
過C作CE⊥PB，則AE⊥PB，
即∠AEC是二面角A-PB-C的平面角，
∵PD=$\sqrt{P{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{25-1}=\sqrt{24}$=2$\sqrt{6}$，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$BC•PD=$\frac{1}{2}$PB•CE，
即CE=$\frac{BC•PD}{PB}$=$\frac{2×2\sqrt{6}}{5}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
則AE=CE=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
在△AEC中，cos∠AEC=$\frac{A{E}^{2}+E{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AE•CE}$=$\frac{（\frac{4\sqrt{6}}{5}）^{2}+（\frac{4\sqrt{6}}{5}）^{2}-4}{2×\frac{4\sqrt{6}}{5}×\frac{4\sqrt{6}}{5}}$=$\frac{\frac{96}{25}+\frac{96}{25}-4}{2×\frac{96}{25}}$=$\frac{23}{48}$，
即∠AEC=arccos$\frac{23}{48}$，
即面角A-PB-C的大小為arccos$\frac{23}{48}$．

點(diǎn)評 本題主要考查二面角的計(jì)算，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，結(jié)合余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．