Question

9．橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為4，且以雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}$=1的實(shí)軸為短軸，斜率為k的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得橢圓的c=2，由雙曲線的性質(zhì)可得b=2，由a，b，c的關(guān)系，可得a，進(jìn)而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，由題意可得右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，即為$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}$＜0，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解不等式即可得到所求范圍．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓的焦距為4，∴c=2，
又以雙曲線$\frac{y^2}{4}-{x^2}=1$的實(shí)軸為短軸，
∴b=2，a=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$；
（Ⅱ）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+1\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$得（1+2k²）x²+4kx-6=0，
∴x₁+x₂=$\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}$，x₁x₂=$\frac{-6}{{1+2{k^2}}}$，
由（1）知右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，0），
∵右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}$＜0，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0，
∴$（1+{k^2}）•\frac{-6}{{1+2{k^2}}}+（k-2）•\frac{-4k}{{1+2{k^2}}}+5=\frac{8k-1}{{1+2{k^2}}}$＜0，
∴k＜$\frac{1}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓和雙曲線的性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．