Question

14．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的右焦點為F，右頂點與上頂點分別為點A、B，且$|AB|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}|BF|$．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）若過點（0，2）斜率為2的直線l交橢圓C于P、Q，且OP⊥OQ，求橢圓C的方程．

Answer 1

分析 （1）運用兩點的距離公式，結合a，b，c和離心率公式計算即可得到；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），直線l的方程為y-2=2（x-0），聯立橢圓方程，運用韋達定理和向量垂直的條件：數量積為0，化簡整理，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程．

解答 解：（1）由已知$|AB|=\frac{{\sqrt{5}}}{2}|BF|$，
即$\sqrt{{a^2}+{b^2}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}a$，
即4a²+4b²=5a²，即4a²+4（a²-c²）=5a²，
∴$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$；                         
（2）由（1）知a²=4b²，可得橢圓C：$\frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1$，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
直線l的方程為y-2=2（x-0），即2x-y+2=0．
由$\left\{\begin{array}{l}2x-y+2=0\\ \frac{x^2}{{4{b^2}}}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{array}\right.⇒{x^2}+4{（2x+2）^2}-4{b^2}=0$，
即17x²+32x+16-4b²=0．  
$△={32^2}+16×17（{b^2}-4）＞0?b＞\frac{{2\sqrt{17}}}{17}$．
${x_1}+{x_2}=-\frac{32}{17}$，${x_1}{x_2}=\frac{{16-4{b^2}}}{17}$．                                
∵OP⊥OQ，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，
即x₁x₂+y₁y₂=0，x₁x₂+（2x₁+2）（2x₂+2）=0，
5x₁x₂+4（x₁+x₂）+4=0．
從而$\frac{{5（16-4{b^2}）}}{17}-\frac{128}{17}+4=0$，解得b=1，a=2，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．

點評 本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用兩點的距離公式和a，b，c的關系，考查橢圓方程的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和向量垂直的條件：數量積為0，考查化簡整理的圓能力，屬于中檔題．