Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，橢圓的右焦點(diǎn)F到雙曲線x²-y²=1的一條漸近線的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，已知過(guò)點(diǎn)F斜率為k₁直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM（其中O為原點(diǎn)）的斜率為k₂，判斷k₁•k₂是否為定值，如果是，求出該值；如果不是，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，可得c=1，a=2，由a，b，c的關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)出直線l的方程，代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得M的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到所求定值．

解答 解：（1）由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
由橢圓的右焦點(diǎn)F（c，0）到雙曲線x²-y²=1的一條漸近線y=x的距離為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得$\frac{c}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得c=1，
即有a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）可得過(guò)點(diǎn)F（1，0）斜率為k₁直線l的方程為y=k₁（x-1），
代入橢圓方程可得（3+4k₁²）x²-8k₁²x+4k₁²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=$\frac{8{{k}_{1}}^{2}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，
即有中點(diǎn)M（$\frac{4{{k}_{1}}^{2}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$，-$\frac{3{k}_{1}}{3+4{{k}_{1}}^{2}}$），
可得k₂=$\frac{{y}_{M}}{{x}_{M}}$=$\frac{-3{k}_{1}}{4{{k}_{1}}^{2}}$=-$\frac{3}{4{k}_{1}}$，
即有k₁k₂=-$\frac{3}{4}$．
則k₁•k₂為定值-$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式和點(diǎn)到直線的距離公式，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，以及直線的斜率公式的運(yùn)用，屬于中檔題．