Question

9．已知函數(shù)f（x）在R上滿足f（x）=2f（2-x）+e^x-1+x²，則曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是x-y-3=0．

Answer 1

分析 將x用2-x代入f（x）=2f（2-x）+e^x-1+x²，建立f（x）與f（2-x）的方程組，解出f（x）的解析式，求出f′（x）、f（1）、f′（1），利用導數(shù)的幾何意義和點斜式方程求出切線方程．

解答 解：由題意得，f（2-x）=2f（x）+e^1-x+（2-x）²，①
∴令x取2-x代入①得，f（x）=2f（2-x）+e^x-1+x²，②
聯(lián)立①②解得：f（x）=$-\frac{1}{3}$（2e^1-x+e^x-1+3x²-8x+8 ），
∴f′（x）=$-\frac{1}{3}$（-2e^1-x+e^x-1+6x-8）
則f（1）=-2，f′（1）=1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是x-y-3=0，
故答案為：x-y-3=0．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程，函數(shù)解析式的求解，考查運算求解能力，轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．