Question

19．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，n≥2時，a_n=2²ⁿa_n-1+n•2${\;}^{{n}^{2}}$，求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過對等式a_n=2²ⁿa_n-1+n•2${\;}^{{n}^{2}}$兩邊同時除以${2}^{{n}^{2}+1}$可知$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n•（n+1）}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）•n}}$+$\frac{n}{2}$，利用累加法計算即得結(jié)論．

解答 解：∵a_n=2²ⁿa_n-1+n•2${\;}^{{n}^{2}}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{n}^{2}+1}}$=$\frac{{2}^{2n}{a}_{n-1}+n•{2}^{{n}^{2}}}{{2}^{{n}^{2}+1}}$，
整理得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n•（n+1）}}$=$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）•n}}$+$\frac{n}{2}$，
∴$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{（n-1）•n}}$=$\frac{{a}_{n-2}}{{2}^{（n-2）•（n-1）}}$+$\frac{n-1}{2}$，
…
$\frac{{a}_{2}}{{2}^{2•3}}$=$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1•2}}$+$\frac{2}{2}$，
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n•（n+1）}}$$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1•2}}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{2}$+$\frac{3}{2}$+…+$\frac{n}{2}$
=$\frac{1}{2}$•$\frac{n（n+1）}{2}$
=$\frac{n（n+1）}{{2}^{2}}$，
∴a_n=2^n（n+1）•$\frac{n（n+1）}{{2}^{2}}$=n（n+1）•${2}^{{n}^{2}+n-2}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項，對表達(dá)式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．