Question

【題目】已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)，）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時，求使得恒成立的最小整數(shù).

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）2.

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)的不同取值，求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）求出當(dāng)時，的最大值，再根據(jù)題意，列出不等式，最后求出的最小整數(shù)值.

（1），

令.

當(dāng)時，，所以函數(shù)是實數(shù)集上的減函數(shù)；

當(dāng)時，當(dāng)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，當(dāng)在上單調(diào)遞減；當(dāng)在上單調(diào)遞增；

（2）由（1）知：當(dāng)時，函數(shù)在時，單調(diào)遞減，由題意可知：

，得舍去；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，由題意可知：，得舍去；

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以有：，

，可得，

令，

由，可得，即，在上是單調(diào)遞增函數(shù)，因為，所以當(dāng)時，使得恒成立的最小整數(shù)值為2.