Question

1．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，其前n項和為T_n，則T₂₀₁₄=$-\frac{3527}{6}$．

Answer 1

分析 由已知遞推式得到a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，結(jié)合數(shù)列的首項求出前幾項，可知數(shù)列{a_n}是周期為4的周期數(shù)列，則答案可求．

解答 ∵a_n=$\frac{{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}+1}$，
∴a_n+1=$\frac{1+{a}_{n}}{1-{a}_{n}}$，
∵a₁=2，∴a₂=-3，a₃=-$\frac{1}{2}$，a₄=$\frac{1}{3}$，a₅=2，…，
∴數(shù)列{a_n}是周期為4的周期數(shù)列，且${a}_{1}+{a}_{2}+{a}_{3}+{a}_{4}=-\frac{7}{6}$，
∵2014=4×503+2，
∴T₂₀₁₄=-$\frac{7}{6}×503+2-3$=$-\frac{3527}{6}$．
故答案為：$-\frac{3527}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了數(shù)列的求和，關(guān)鍵是對數(shù)列周期的發(fā)現(xiàn)，是中檔題．