Question

14．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左右兩個焦點，點P為橢圓上任意一點，則使得${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$成立的P點的個數(shù)為（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)P（x₀，y₀），由${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$和P（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，列出方程組，能求出使得${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$成立的P點的個數(shù)．

解答 解：設(shè)P（x₀，y₀），
∵F₁，F(xiàn)₂分別為橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的左右兩個焦點，點P為橢圓上任意一點，
∴F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-4-x₀，-y₀），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（4-x₀，-y₀），
∵${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$，∴（-4-x₀）（4-x₀）+（-y₀）²=-7，即${{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}$=9，①
又∵設(shè)P（x₀，y₀）為橢圓上任意一點，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{25}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{9}=1$，②
聯(lián)立①②，得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=0}\\{{y}_{0}=-3}\end{array}\right.$，
∴使得${\overrightarrow{PF}_1}•\overrightarrow{P{F_2}}=-7$成立的P點的個數(shù)為2個．
故選：C．

點評 本題考查滿足條件的點的個數(shù)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運用．